Всем доброго времени суток! В прошлых статьях я рассказывал о тепловых расчетах при проектировании трансформатора(Часть 1. Часть 2.). На тепловой режим трансформатора влияет множество параметров трансформатора электрические и электромагнитные. Об этом сегодняшняя статья.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Векторная диаграмма трансформатора

Для упрощения расчётов напряжений и токов в трансформаторе используют векторную диаграмму, которая является графическим изображением всех уравнений трансформатора на комплексной плоскости. Векторную диаграмму строят на основе эквивалентной схемы замещения и уравнений трансформатора.

Эквивалентная схема трансформатора.

Обозначения на схеме: U₁, I₁, R₁, X₁ – напряжение, ток, активное и реактивное сопротивление первичной обмотки, U^/₂, I^/₂, X^/₂, R^/₂, Z^/_H – приведённые напряжение, ток, активное, реактивное сопротивление и полное сопротивление нагрузки вторичной обмотки, Е – ЭДС трансформатора, I₀ – намагничивающий ток трансформатора, I_0r и I_0a – реактивная  и активная составляющая намагничивающего тока.

Построение векторной диаграммы начинается с вектора основного магнитного потока Ф, начальная фаза которого принимается равной нулю, вектор ЭДС Е = Е^/₂ отстаёт от вектора Ф на 90°. Вектор тока намагничивания I₀ опережает вектор магнитного потока на угол α, зависящий от магнитных потерь в сердечнике и содержит две составляющие I_0r и I_0a.

Для определения направлений векторов I и U^/₂ на вторичной обмотке можно определить из углов φ_н и φ^/₁

где x^/₂, r^/₂ – приведённое реактивное и активное сопротивление вторичной обмотки,

x^/_Н, r^/_Н – приведённое реактивное и активное сопротивление нагрузки.

Векторная диаграмма трансформатора.

Данные выражения позволяют построить вектор напряжения на выходе трансформатора U^/₂, на активном сопротивлении обмотки I^/₂r^/₂ и реактивном сопротивлении обмотки I^/₂jх^/₂.

Для продолжения построения необходимо воспользоваться уравнениями трансформатора. Вектор I₁ равен геометрической сумме векторов I₀ и –I. Произведём суммирование и изобразим на диаграмме

Вектор (-I) откладывается от конца вектора I₀ параллельным переносом вектора I, но в противоположном направлении. В результате вектор I₁ откладывается от начала координат и до конца вектора (-I).

Вектор напряжения на первичной обмотке

Вектор (–Е) строится от начала координат в направлении противоположном вектору Е, то есть он опережает вектор Ф на 90°, вектор I₁x₁ откладывается от конца вектора (–Е) перпендикулярно вектору тока I₁, а вектор I₁r₁ – параллельно.

Построенная векторная диаграмма имеет общий характер, но её можно перестроить в зависимости от режимов работы трансформатора и позволяет определить электрические параметры трансформатора в этих режимах.

Намагничивающий ток трансформатора

Влияние намагничивающего тока I₀ на параметры мощных трансформаторов (более нескольких кВт) обычно незначительно и составляет 2 – 5% от номинального. Чаще всего при расчётах им пренебрегают. В случае трансформаторов малой мощности ток намагничивания порой сравнивается с рабочим током, поэтому требует учёта и анализа.

Из эквивалентной схемы приведённой выше видно, что намагничивающий ток I₀ содержит две составляющие: реактивную I_0r, которая обеспечивает намагничивающую силу для создания магнитного потока в сердечнике Φ (Φ = I_0rω), и активную I_0a, зависящая от потерь мощности в сердечнике ∆Р (∆Р = I_0aR_c). Тогда

Использование абсолютных значений намагничивающего тока: полного I₀, активной I_0a и реактивной I_0r составляющих не всегда удобно, поэтому используют эти значения относительно приведённого тока вторичной обмотки I

Тогда относительная реактивная составляющая намагничивающего тока i_0r может быть выведена из следующих выражений

где Н_Э – эквивалентная напряженность магнитного поля в сердечнике,

l_C – длина средней магнитной линии сердечника.

Часто при расчетах трансформаторов используют выражения для геометрических изображений (подробнее здесь), в основе которых стоит некоторый базовый параметр а. Поэтому выразим реактивную составляющую через базовый параметр

Относительная активная составляющая i_0a, после преобразований и используя метод геометрических изображений, будет иметь вид

где γ_С – удельный вес сердечника.

Из приведённых выражений видно, что намагничивающий ток и его составляющие растут при уменьшении базового размера а, то есть размеров трансформатора. То есть при достаточно малой величине базового размера а, намагничивающий ток может достигать значительных величин. Однако с ростом частоты намагничивающий ток оказывается значительно ниже, чем в трансформаторах промышленной частоты.

С учётом данного факта необходимо уточнить выражение для мощности трансформатора путём ввода коэффициента учёта распределения окна между обмотками – n. Тогда выражение для мощности трансформатора будет иметь вид

где I₀ – ток намагничивания трансформатора,

I – приведённый вторичный ток,

i₀ – относительный намагничивающий ток.

Падения напряжения трансформатора

Для трансформатора малой мощности большое значение играет изменение выходного напряжения под нагрузкой ∆U. Данная величина характеризует стабильность выходного напряжения и показывает, на сколько изменяется выходное напряжение при изменении выходного тока от нуля до номинального. Падение напряжения зависит от сочетания следующих факторов: активные и реактивные сопротивления обмоток, cos φ нагрузки и первичного тока. В общем случае падение напряжение оценивается следующими выражениями

где U₁, r₁, x₁ – напряжение, активное и реактивное сопротивление первичной обмотки, U^/₂, x^/₂, r^/₂ – приведённые напряжение, активное, реактивное сопротивление, Е – ЭДС трансформатора, I = I^/₂ – приведённый ток вторичной обмотки трансформатора, I_0r и I_0a – реактивная  и активная составляющая намагничивающего тока, φ_н – фазовый угол нагрузки.

Данные выражения позволяют вычислить падение напряжение при любых условиях, однако в зависимости от типа трансформатора можно их упростить. Для этого рассмотрим составляющие падания напряжению – активную часть ∆U_a и реактивную часть ∆U_х.

Они показывают падение напряжения на активных и реактивных сопротивлениях обмоток.
Так же как и для намагничивающего тока для анализа и расчета лучше использовать относительные значения падения напряжения.

Относительное значение падения напряжения на активных сопротивлениях обмоток

где ρ – удельное электрическое сопротивление,

j – плотность тока в обмотках,

k_ф – коэффициент формы напряжения,

f – частота переменного напряжения,

k_с – коэффициент заполнения сердечника,

В – магнитная индукция в сердечнике,

φ_ω – геометрическое изображение средней длины витка катушки трансформатора,

φ_S – геометрическое изображение сечения сердечника,

a – базисный параметр трансформатора.

Относительное значение падения напряжения на реактивных сопротивлениях обмоток

где k_ОК – коэффициент заполнения окна сердечника,

j – плотность тока в обмотках,

k_ф – коэффициент формы напряжения,

В – магнитная индукция в сердечнике,

n_∆ — число сечений катушек в окне, для БТ n_∆ = 1, для СТ, ТТ n_∆ = 2,

∆_об – толщина межобмоточной изоляции,

φ_ω – геометрическое изображение средней длины витка катушки трансформатора,

φ_S – геометрическое изображение сечения сердечника,

a – базисный параметр трансформатора.

с_К – толщина одной катушки (на одну сторону),

х – относительная ширина окна.

Полученные выражения показывают, что при постоянной геометрии трансформатора и его размерах относительное значение активной составляющей падения напряжения u_ка уменьшается с ростом частоты, а величина относительного значения реактивной составляющей u_кх практически не зависит от частоты (она немного возрастает из-за роста отношения j/B). В тоже время при увеличении базовой величины а (а значит и размеров трансформатора) активная составляющая u_ка значительно уменьшается, а реактивная u_кх – возрастает. Однако в большинстве случаев для трансформаторов малой мощности основное значение в падении напряжения играет активная составляющая.

Величина падения напряжения может быть различной в зависимости от назначения или условий работы трансформатора. Типовым значением падения напряжения считается u = 0,1, но в отдельных случаях при жестких требованиях к стабильности выходного напряжения может уменьшаться до u = 0,05, или даже u = 0,01…0,02.

Соотношение плотностей тока в обмотке

Соотношение плотностей тока в обмотках  трансформатора ε определяется следующим выражением

где j₁ и j₂ – плотность тока в первичной и вторичной обмотке.

Проблема выбора оптимального соотношения плотностей тока в обмотках является одной из важных в теории и практике проектирования трансформатора. Обычно принято считать что ε ≈ 1 (j₁ = j₂), однако это справедливо для очень больших трансформаторов. Однако для трансформатора малой мощности данное условие не является оптимальным и вот почему.

Обычно к таким трансформаторам предъявляют противоречивые требования в зависимости от условия проектирования.

Так при условии обеспечения требуемого теплового режима (перегрева) трансформатора оптимальное значение ε определяются потерями активной мощности в обмотках. Например, для трансформатора малой мощности выступают требования минимальных потерь при заданной мощности, либо максимальной мощности при заданных потерях, либо минимальный вес и объем при заданной мощности и перегреве. Таким образом, ключевым условием в данном случае является получение минимальных потерь в обмотках, поэтому выражение для оптимального соотношения плотностей тока ε_о в обмотках будет иметь вид

где х – относительная ширина сердечника,

y – относительная толщина сердечник,

а – базовый размер сердечника,

с_k – толщина одной катушки (на одну сторону).

Из данного выражения можно сделать вывод, что ε_о < 1, но конкретные значения определяются геометрией трансформатора. Рост потерь в обмотках трансформатора происходит при отклонении от оптимального значения, как в большую, так и в меньшую сторону. Практически часто приходится отступать от оптимальных значений ε из-за дискретности ряда диаметров проводов. Поэтому без заметного отклонения величина отношения плотностей тока может изменяться в следующих пределах -15…+25% от ε_о.

Иначе при заданном падении напряжения трансформатора предъявляются следующие требования: минимальное падение напряжения при заданной мощности или максимальная мощность при заданном падении напряжения, либо минимальный вес и объём при заданной мощности и падении напряжении. В данном случае оптимальное значение отношения плотностей тока ε_о будет иметь вид

где i_0a – активная составляющая относительного значения тока намагничивания,

i₁ – относительное значение тока первичной обмотки.

В данном случае оптимальное значение ε_о также меньше 1. Значение ε_о тем меньше, чем больше i₁ и зависит от геометрии трансформатора, определяемой параметрами х_k и y. Рост падения напряжения происходит при отклонении от оптимального значения ε_о особенно в меньшую сторону. То есть за счет правильного выбора соотношения плотностей тока (сечения провода) можно добиться снижения падения напряжения и повышения КПД трансформатора.

Как определить мощность трансформатора?

Чаще всего для мощности трансформатора Р используется выражение, полученное при условии следующих упрощений:

— намагничивающий ток не учитывают, I₀ = 0, I₁ = I;

— плотность тока первичной и вторичной обмоток считают равными, j₁ = j₂ = j;

— окно сердечника делится пополам между обмотками, S₁ = S₂ = S_ок/2.

Таким образом мощность трансформатора может быть определена следующими выражениями

где k_ф – коэффициент формы кривой напряжения,

f – частота переменного напряжения, Гц,

w – число витков в обмотке,

k_C – коэффициент заполнения магнитным материалом сердечника,

S_C – сечение сердечника, см²,

В – магнитная индукция в сердечнике (амплитудное значение), Тл,

j – плотность тока в обмотке, А/мм²,

q – сечение проводника в обмотке, мм².

Данное выражение можно несколько упростить

где k_ОК – коэффициент заполнения окна сердечника,

S_OK – площадь окна сердечника, см².

Данные выражения показывают, что при постоянных k_C, k_ОК, j и В мощность трансформатора пропорциональна частоте f и произведению площадей сердечника и окна S_CS_OK. Следует отметить, что коэффициенты j и В не постоянны, а сложным образом зависят от мощности трансформатора. Однако видно, что при тех же размерах трансформатора S_C и S_OK при увеличении частоты мощность трансформатора можно существенно увеличить. Или же другими словами трансформатор той же мощности при повышенной частоте имеет существенно меньшие размеры, чем трансформатор промышленной частоты (50 Гц). Это основная причина широкого распространения трансформаторов повышенной и высокой частоты.

Чаще всего для трансформаторов, ε = 1, однако это условие не является оптимальным. Однако если считать, что ε ≠ 1, то вышеописанные выражения теряют силу, потому что окно сердечника распределяется не пополам и не в отношении n, а в зависимости от величины ε. В результате необходимо вводить дополнительные коэффициенты заполнения окна первичной и вторичной обмоток k_ОК1 и k_ОК2. В результате данных условий получаем наиболее общее выражение для электромагнитной мощности трансформатора

где j₂ – плотность тока вторичной обмотки,

S₂ – площадь окна занятая только вторичной обмотки,

k_ОК2 – коэффициент заполнения площади S₂.

Площадь S₂ определяется следующим выражением

где I₁ – относительный ток первичной обмотки,

I – приведённый вторичный ток,

Р₁ – полная мощность, потребляемая трансформатором от сети,

Р – электромагнитная мощность.

Тогда получим наиболее строгое выражение для электромагнитной мощности

Разница значений k_ОК1 и k_ОК2 обычно незначительна и не дает больших отличий, поэтому можно принять k_ОК1 = k_ОК2 = k_ОК, k₂₁ = 1.

Тогда площадь окна занятая вторичной обмоткой составит

В соответствие с данным выражением для обычных условий получим следующее выражение для электромагнитной мощности трансформатора

Как определить мощность вторичной обмотки трансформатора?

Мощность, отдаваемая вторичной обмоткой трансформатора в общем случае равна

где Р – электромагнитная мощность трансформатора,

φ^/ — угол между векторами ЭДС и тока,

р_К2 и р_S2 – потери активной и реактивной мощности во вторичной обмотке.

При работе трансформатора на активную нагрузку φ^/ = 0, и потери реактивной мощности р_S2 = 0 (у трансформаторов малой мощности они незначительны). Поэтому выражение мощности отдаваемой вторичной обмоткой будет следующее

Данное выражение наиболее общее для обычных условий работы основное уравнение вторичной мощности.

В следующей статье я продолжу рассматривать параметры трансформатора, такие как, плотность тока в обмотках трансформатора, электромагнитную индукцию сердечника и т.д.